Meccanica Razionale

Meccanica Razionale #

Modulo per il corso di laurea triennale in Matematica.

Nonostante la denominazione, il corso — precedentemente Fisica Matematica 2 — è de facto un modulo sulla formulazione lagrangiana della meccanica. Il suo obiettivo è introdurre lo studente ai concetti fondamentali della meccanica analitica.

Materiale di riferimento #

I due testi di riferimento del corso saranno

Un testo complementare, avanzato, consultabile su alcuni aspetti specifici è

Due testi estremamente utili per la consultazione, pensati per un corso in Fisica Teorica, sono

Durante il corso farò riferimento ad alcune note, che riprendono l’ordine degli argomenti svolti. Le note sono in una prima versione e possono contenere errori. Si raccomanda vivamente di seguire i testi consigliati.

Note del corso

Ringrazio gli studenti che finora mi han fatto notare e correggere gli innumerevoli errori.

Referenze per approfondimenti #

Spazi affini e loro proprietà sono argomenti dei corsi di geometria del triennio e si possono trovare per esempio in [2]. Curve e superfici regolari sono trattate tipicamente nei manuali di Analisi per il triennio italiano, come per esempio nel capitolo 15 di [1]. Una monografia sull’argomento è [3]. Una introduzione alle equazioni differenziali ordinarie lineari è nel capitolo 17 di [1]. Una discussione sulle coniche in forma polare si può trovare in ogni libro elementare di geometria, per esempio nella sezione 8.4 di [4].

  1. E. Giusti, Analisi matematica 2.
  2. E. Sernesi, Geometria 1.
  3. M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces.
  4. H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry.

Calendario #

Calendario delle attività svolte e piano delle lezioni future.

Data    Argomento
16-02 Spazi e sottospazi affini; sistemi di coordinate e isomorfismi affini. Spazi affini euclidei. Prodotto vettoriale.
17-02 Spaziotempo galileiano e isomorfismi galileiani; spaziotempo delle coordinate.
18-02 Gruppo di Galilei. Principi della meccanica; principio di sovrapposizione.
23-02 Determinismo newtoniano e sue conseguenze. Forma funzionale delle forze e invarianza galileiana.
24-02 Leggi del moto e invarianza galileiana. Esempi ed esercizi.
25-02 Equazioni cardinali della dinamica. Potenza, lavoro, energia cinetica e teorema delle forze vive.
02-03 Forze conservative. Conservazione dell’energia meccanica. Cambi di riferimento (inizio).
03-03 Cambi di riferimento: angoli di Eulero, velocità angolare, teorema di Poisson.
04-03 Corollari del teorema di Poisson. Grandezze cinematiche e dinamiche sotto cambi di riferimento e forze apparenti.
09-03 Lezione annullata causa sciopero
10-03 Forza centrifuga. Teoremi di König. Esercizi: correzioni non inerziali a $g$; formula di Rodrigues.
11-03 Vincoli olonomi. Sottovarietà regolari e parametrizzazione locale. Esempi: curve e superfici regolari.
16-03 Spazio tangente e normale.
17-03 Coordinate lagrangiane, energia cinetica in parametrizzazione locale, matrice cinetica.
18-03 Equazioni di Lagrange, principio di d’Alembert-Lagrange e vincoli lisci. Conservazione dell’energia per vincoli fissi ideali.
30-03 TBA
31-03 TBA
01-04 TBA
08-04 TBA
13-04 TBA
14-04 TBA
15-04 TBA
20-04 TBA
21-04 TBA
22-04 TBA
27-04 TBA
28-04 TBA
29-04 TBA
04-05 TBA
05-05 TBA
06-05 TBA
11-05 TBA
12-05 TBA
13-05 TBA
18-05 TBA
19-05 TBA
20-05 TBA
25-05 TBA
26-05 TBA
27-05 TBA

Esercizi #

Raccolta Argomento
E00 Richiami sulle curve.
E01 Richiami di meccanica newtoniana.
E02 Formalismo lagrangiano.
E03 Moto unidimensionale.
E04 Piccole oscillazioni.
E05 Pendolo di Focault.
E06 Moto in campo centrale.
E07 Formalismo variazionale e teorema di Noether.
E08 Corpo rigido.

Prova d’esame passate #

W1 W2 S1 S2 S3 A
2025 — — 16-06 09-07 24-07 01-09
2026 13-01 26-01 08-06 22-06 06-07 18-09
Vedendo inoltre in te [Eratostene], come ho detto, uno studioso diligente, un eminente filosofo e un estimatore [dell'indagine matematica], ho ritenuto opportuno scrivere per te e spiegare in dettaglio, in questo stesso libro, la particolarità di un certo metodo, grazie al quale ti sarà possibile iniziare a investigare alcuni problemi di matematica per mezzo della meccanica. Sono convinto che questa procedura non sia meno utile per la dimostrazione stessa dei teoremi; infatti, alcune cose mi sono apparse chiare per la prima volta grazie a un metodo meccanico, anche se successivamente hanno dovuto essere dimostrate geometricamente, poiché l’indagine condotta con il suddetto metodo non forniva una dimostrazione vera e propria. Tuttavia, è certamente più facile, una volta acquisita una certa conoscenza preliminare delle questioni grazie a questo metodo, fornirne una dimostrazione, piuttosto che trovarla senza conoscenza precedente alcuna.
Archimede, Metodo